Exercice 1 (corrigé)

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Affirmation 1

Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d’un mur à 1 mètre au-dessus du sol pour construire une étagère \(ABC\) :

\(AB = 65 \text{ cm} ; AC = 72 \text{ cm et } BC = 97 \text{ cm}\)

Il réfléchit quelques minutes et assure que l’étagère a un angle droit.

Affirmation 2

Les normes de construction imposent que la pente d’un toit représentée ici par l’angle \(\widehat{CAH}\) doit avoir une mesure comprise entre 30° et 35°.

Une coupe du toit est représentée ci-dessous : AC = 6 m et AH = 5 m. H est le milieu de [AB].

Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.

Affirmation 3

Un peintre souhaite peindre les volets d'une maison. Il constate qu'il utilise ⅙ du pot pour mettre une couche de peinture sur l'intérieur et l'extérieur d'un volet. Il doit peindre ses 4 paires de volets et mettre sur chaque volet 3 couches de peinture.

Il affirme qu'il lui faut 2 pots de peinture.

Correction

Affirmation 1

On a:

\(BC^2 = 97^2 = 9409\)

et

\begin{align*} BA^2 + AC^2 &= 65^2 + 72^2 \\ &= 4225 + 5184 \\ &= 9409 \end{align*}

Donc \(BC^2 = BA^2 + AC^2\) , donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

L'étagère a donc bien un angle droit.

Affirmation 2

Le triangle CAH est rectangle en H, donc le cosinus de l'angle \(\widehat{CAH}\) peut se calculer comme ceci:

\(cos(\widehat{CAH}) = \frac{AH}{AC} = \frac{5}{6}\)

L'angle \(\widehat{CAH}\) est donc égal à \(acos(\frac{5}{6}) \approx 34°\) .

La pente du toit est donc bien entre 30° et 35° et la construction respecte bien la norme.

Affirmation 3

3 couches de peintures sur 4 paires de volets (donc 8 volets) fait 3×8=24 couches, si chaque couche demande ⅙ de pot de peinture, le nombre de pots de peinture nécessaires est de

\(24 × \frac{1}{6} = \frac{24}{6} = 4\)

Et non 2 comme l'affirme le peintre.